By Hans Kurzweil

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2) Es ist Re = G, also ist grad G ≤ n − e und e ≤ n − grad G . (3) Der EEA definiert in jedem Schritt Di zus¨atzlich zwei Polynome Ci , Di . Im START setzt er (4) D−1 : = 0 , D0 : = 1 und C−1 : = 1 , C0 : = 0 . Sei i ≥ 0 und seien die Polynome Ci−1 , Ci , Di−1 , Di bereits definiert. Dann setzt der EEA (EDi ) Ci+1 : = Fi+1 · Ci + Ci−1 und Di+1 : = Fi+1 · Di + Di−1 . 1 Ci · N = Di · A + (−1)i+1 Ri+1 , i = 0, 1, . . , e Beweis: Infolge der Festsetzung von D−1 , C−1 , D0 , C0 und R1 = A ist die Behauptungs fu¨r i = 0 richtig.

Dann ist K Teiler von L. Beweis: Wir teilen L durch K, also ist L = F · K + R , grad R < grad K . Da A, B Teiler von L und K sind, sind sie auch Teiler von R . h. L = F · K, dies ist die Behauptung. Sei nun L ebenfalls ein kleinstes gemeinames Vielfaches von A, B, insbesondere sei L normiert. 4 ist K teiler von L. 4, dass L Teiler von K ist. Da K, L normiert sind, folgt L = K. Das kgV(A, B) und der ggT(A, B) sind also eindeutig bestimmte Polynome. Ein Polynom vom Grad ≥ 1 heißt irreduzibel (oder unzerlegbar ), wenn es nur triviale Teiler besitzt.

Die normierten Polynome in F[X] u¨bernehmen deshalb die Rolle der natu¨rlichen Zahlen in Z . 35 Im Folgenden seien A, B Polynome = 0 aus F[X] (oder a, b ∈ Z , a, b = 0); wir formulieren nur fu¨r Polynome, empfehlen aber dem Leser das Folgende an konkreten Beispielen in Z nachzustellen. Gilt B = P · A , P ∈ F[X] , so heißt A Teiler von B und B Vielfaches von A; wir schreiben A|B und P = B . A Ist grad P = 0 oder grad A = 0, sind also P oder A Einheiten, so heißt A trivialer Teiler von B; man spricht von einer trivialen Zerlegung von B, weil eine solche immer existiert: B= 1 · (λB) , λ = 0 λ Zum Beispiel ist 1 X 2 + 1 = (3X 2 + 3) 3 eine triviale Zerlegung in R[X] und X 2 + 1 = (X + i) · (X − i) eine nicht triviale Zerlegung in C[X].

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